Python 实现布尔莎转换模型

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1. 公式

布尔莎七参数的数学模型为

 [X1,Y1,Z1]为待求坐标,[X2,Y2,Z2]为目标坐标系坐标。顾及旋转角度都是非常小的,布尔莎七参数转换模型的数学模型可以简化为:

这样有利于使用编程语言来求解。由公式可知,必要观测条件数为 t=7, 所以至少需要3个已知点对。设已知点对数为m,则多余观测数 r = 3*m – 7, 这在最终的精度评定中是有用的。

2. 核心问题

1. 由于是同等精度观测且相互独立,最终使用的权阵应该为单位矩阵 P(3m*3m), m为已知点对个数。

p = np.eye(n)  # 单位权矩阵 3n * 3n

2. 程序实现时,所有的已知点对XYZ坐标都读入相应的列矩阵,系数阵B同样需要这样操作(V=BX-L)。在numpy处理时可以表示为:

for i in range(vector_count):
        matrix_source.append(vector3d_list_source[i].X)
        matrix_source.append(vector3d_list_source[i].Y)
        matrix_source.append(vector3d_list_source[i].Z)
        matrix_dest.append(vector3d_list_dest[i].X)
        matrix_dest.append(vector3d_list_dest[i].Y)
        matrix_dest.append(vector3d_list_dest[i].Z)
        matrix_B.append([1, 0, 0, 0, -vector3d_list_source[i].Z, vector3d_list_source[i].Y, vector3d_list_source[i].X])
        matrix_B.append([0, 1, 0, vector3d_list_source[i].Z, 0, -vector3d_list_source[i].X, vector3d_list_source[i].Y])
        matrix_B.append([0, 0, 1, -vector3d_list_source[i].Y, vector3d_list_source[i].X, 0, vector3d_list_source[i].Z])
    matrix_source =  np.array(matrix_source).reshape(1, -1).T
    matrix_dest = np.array(matrix_dest).reshape(1, -1).T
    matrix_B =  np.array(matrix_B)
    L = matrix_dest – matrix_source

3. 参数矩阵值(列矩阵)

X = np.dot(np.linalg.inv(np.dot(matrix_B.T, matrix_B)), np.dot(matrix_B.T, L))

4. 误差方程

V = np.dot(matrix_B, X) – L #误差方程

5. 精度评估

standard_deviation = math.sqrt(np.dot(np.dot(V.T, p), V) / r) # 转换中误差

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